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cosθxという書き方は良くないです．これは通常cos(θx)の意味になります．
そう取られないようにするには(cosθ)xと書くか，むしろ普通はxcosθと書きますね．
黄色チャートⅢ〈数研出版〉の例題47
大変分かりやすく勉強になりました！少し答えにくい質問ですが、
二次曲線の回転移動は、大学入試だとどのレベルを志望している生徒が知ってるべきでしょうか？
私が現役の時は全く知りませんでした。(高校で行列も複素数平面も習いましたが…)
y=tan60°x=√3xを代入して短軸の長さを求めようとしたら上手くいかない…何が間違ってるんだろ?
2007年の出題ならば一応回転行列の問題ですね。この年あたりの受験生なので懐かしく感じます。
なんとなく、極座標と加法定理を用いたほうが回転の式の導出は初学者にとっては自然かなと思います。今の高校生は1次変換がなくなったのですね。大学の線形代数に自然につながったのでいいかなと思っていました。複素数はともかく整数は必要なので,仕方がないと言えば仕方がないかもしれません。
少し天邪鬼な方法な気がしますが、自分なりに早い方法を考えのみで、申し訳ないですが載せときます。（間違いがあったら指摘してください）
与えられた曲線をCとして、
30°回転で一般形なので、
Cとy=tan(60°)xを連立させて4x^2が「イ」である。
同様にCとtan(-60°)y=xを連立して4y^2が「ア」である。
こんな感じです。マークでしか使えませんが、どうでしょうか？言葉が足りないのは許してください。
この1つ上の代の人間ですが、この頃は複素数平面が無かったので当時の模範解答は後者だったのかな？
行列の表記に懐かしさを感じました