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青チャート例題17にも同じ解法でできる問題がありましたね
問題集でつまづいた問題で、自力で解説を読むだけではどうにもしっくり来なかったので解説とてもありがたいです。ありがとうございます。
助かりました。ありがとうございます。
これ見てようやくチャートの解説が理解できたわ
この問題は絶対に知識としてオチを知っておかないといけない問題。
この千葉大学の問題の類題を昔の北海道大学でみたことがあります。
わかりやすいなぁ。
確かにあれにいれたほうがくそはぇわぁ
七分で復習とれるのはでかいし。
よゆーやな。
(x-1)(x-3)からx²-4x+3は簡単に作れて恒等式だと分かるんですが、
(x-a)(x-a²)…(x-a^6)から
1+x+x²+…+x^6は作りにくいのになぜ瞬時に恒等式と言えるんですか？
これ白紙多いらしいね
7分でできた。
あとでみたけど、誘導はぶいたね。
いちまいなすあーるぶんのえーかっこいちまいなすあーるのえぬじょー
この問題今日の学年末試験で出ました…
初見で(1)は解けたけど(2)はきつい
超典型的な問題。取れなきゃ死。
だからちゃんと演習しなきゃいけない
これ、公比がαとして等比数列の和としてもできるんですよね。最近知りました。
料理動画の再生リストに入ってて草
実際に答案に書くときどう書くべきかも教えてほしいです
コメント欄でも色々な解法が見られて楽しいです
だいたいはa-1をかければなんとかなる(だろう)
(1)は瞬殺でしたが、(2)は両端から掛けていく解法しか思いつかなかった。
ちなみに思いついただけで面倒そうなので計算しませんでした。
貫太郎先生の解法はエレガントその物ですが、それゆえちょっと思いつかない･･･。
エレガント
（2）の解説聞いて感動しました！
複素数平面は糞つまらない三角関数を輝かせる。
初項α、公比αの第1項目から第6項目までの和で等比数列の和の公式を用いる。
図きれいですご！
別解
x^7-1=(x-1)(x-α)…(x-α^6)
(1)解と係数の関係より-1
(2)与式=lim[x→1] x^7-1/x-1=7･1^6=7
(1)
原点を中心とする単位円を外接円とし、点(1,0)を1つの頂点に持つ正七角形について、各点の頂点のx座標、y座標の総和をそれぞれ Sx , Sy とする。
このとき
α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶+1=Sx+iSy が成り立つ。
また、この正七角形の重心は (0,0) より、 Sx=0 , Sy=0 である。
したがって
α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶+1=0
⇔ α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶=-1
記述は適当だけどこんな感じで出せた気がする。
備忘録2周目👏60G, (1)【 ド･モアブルの定理より 】α⁷＝１･･･① ⇔ (α－1)(α⁶+･･･+α+1)＝０
与式より、α≠1だから α⁶+･･･+α+1＝０ ⇔ α⁶+･･･+α＝－1 ■ (2)【 円周等分多角形 】①より、
α は、 x⁷＝１ の解の一つで､ 全部の解は x＝1, α , ･･･, α⁶ だから、因数定理より
x⁷－１＝ (x－1)(x－α)•･･･•(x－α⁶) である。 x≠1のとき、 x⁶+･･･+x+1＝ (x－α)•･･･•(x－α⁶)
【これは､x についての恒等式】 これに x＝1 を代入して、7 ＝ (1－α)(1－α²)(1－α³)･･･(1－α⁶) ■
(1) alpha は1の原始7乗根なので、alpha^7=1 すなわち (alpha-1)(alpha^6+alpha^5+alpha^4+alpha^3+alpha^2+alpha+1)=0 である。ここで、alpha neq 1 なので、alpha^6+alpha^5+alpha^4+alpha^3+alpha^2+alpha+1=0 である。よって、alpha+alpha^2+alpha^3+alpha^4+alpha^5+alpha^6=-1 を得る。
(2) 普通に alpha の多項式として計算しても出てきますが、(1)より、alpha は1の原始7乗根なので、 x^7-1=0 すなわち (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0 すなわち (x-1)(x-alpha)(x-alpha^2)(x-alpha^3)(x-alpha^4)(x-alpha^5)(x-alpha^6)=0 の解となる。ここで、これら7次方程式の左辺はいずれも等しいので、x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)= (x-1)(x-alpha)(x-alpha^2)(x-alpha^3)(x-alpha^4)(x-alpha^5)(x-alpha^6) であり、(x-1) { (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)-(x-alpha)(x-alpha^2)(x-alpha^3)(x-alpha^4)(x-alpha^5)(x-alpha^6) }=0になるので、x=1 または x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x-alpha)(x-alpha^2)(x-alpha^3)(x-alpha^4)(x-alpha^5)(x-alpha^6) となる。「または」で結ばれた後者の式に x=1 を代入すれば、7=(1-alpha)(1-alpha^2)(1-alpha^3)(1-alpha^4)(1-alpha^5)(1-alpha^6) を得る。よって、(1-alpha)(1-alpha^2)(1-alpha^3)(1-alpha^4)(1-alpha^5)(1-alpha^6)=7 となる。この解法（動画の解法にほぼほぼ同じ）だと、（一般の自然数nに対して）1の原始n乗根の場合にも通用しますし、直接計算が煩雑になってミスすることを考えれば、遙かに一般性が高く良いと思います。
俺もこの前誰かの書き込みで、「おぉッ❗」ってなった解法を採用してますね。
ただ、x^7－1＝(x－1)(x－α)(x－α
^2)…(x－α^6)とやってから、両辺をx－1で割ると…ってやると、「アレ？これからx＝1を代入するつもりなのに、x－1で割っていいんだっけ？」とか余計な迷いが生じるんで、解説では巧みにそれを避けてますね。上手い❗
(2)は何も思い浮かばなかったので普通に計算しました
知ってればいけるんである意味イージーですね、初見は解けないすけど
単位円描き始めたとき、これからフリーハンドで7角形描くぞと思ってワクワクした。結果感動した！
バチくそ典型でありがたい
スマホ何にしますか？
俺もまず7角形をキレイに描く練習から始めよう…と思った
久しぶりにこの動画見て早く寝ないとと思いました。