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ある意味dxってx軸を向かせるみたいな意味があるんでしょうか。
dx = (∂x/∂z)dz +(∂x/∂w)dw
dy = (∂y/∂z)dz +(∂y/∂w)dw の全微分の2式から、
ヤコビアンを用いた変数変換の公式
dxdy = ( (∂x/∂z)(∂y/∂w) – (∂x/∂w)(∂y/∂z) )dzdw
が出て来ることを知ったときは、地味に鳥肌立ちましたね。
なんと全微分＝一次微分形式の線形結合だったのか。英語も学べるので最高です！！
スムージーの動画はいつですか？
大変分かりやすかったです！ありがとうございます！
多様体論を履修すれば学部でも習えると思います５
今までの動画の中で、個人的には一番面白かったです
6:23
ここまでは分かる。
ここからはまじで何言ってるかわからんどうも工学部です。
大学院で微分形式まで学習したときに、それまで別々だった色々なものが繋がって感動したことを思い出しました。
わかりやすい！
11:23 東京大学数学科では、微分形式と de Rahm コホモロジーを扱う学部 3, 4 年生向けの講義（選択必修）があります
僕が習ったときは微分形式習ってないのに微分形式使うのはおかしいと先生が言ってフレシェ微分で定義されました
曲面上の各点にベクトル空間をくれると思ってる。
微分のd/dxも、積分の∫〜dxもなんらかの数字ではなく記号ですと高校で教わってたから、理学部1年にして早くもこれでつまずいてたなあ。
7:38 ここら辺からよくわからなくなった…
私は工学畑の出身なのでいわゆる厳密な微分積分とは無縁で、'微分' も単純に「微小変化」のことであると理解してこれまで過ごしてきました。それで何の支障もなかったのです。しかし、同時に学生時代に眺めただけの「解析概論」の '微分' の説明がさっぱりわからず（何かいいわけがましい説明）、それがずっと気になっていたことも確かです。
'微分' dy、dx は関数でも数でもない。なのになぜ dy/dx は導関数になるのか？
このことが今もってさっぱりわかりません。工学者や物理学者の手になる微積分の教科書はほとんどもれなく '微分' の説明がありますが、その説明は直感的・素朴なものです。
そのせいか数学者の手になる微分積分の教科書には '微分' の概念を放り出しているものもあります。斎藤雅彦の「微分積分学」がそうで、1変数の微分はもちろんのこと、2変数でも全微分に触れていません。
難しいことを初等的に説明することは、それこそ至難の業とは思いますが、1次微分形式についてもう少し立ち入った説明が聞けたら幸いです。
高校では、dxの意味はいつか習うよで飛ばされた
でも大学でもdxの意味も習わないまま現在に至る
重積分の変数変換時のヤコビアンに 全微分が活躍したと思います。この辺まで拡大解説をお願いします。
全微分、技術職に進むと案外使うときが来るんですよね。
高校では微分はdy/dxという分数の形で扱ったのに、大学に入って全微分が出てきて微分なのにdyだけを扱い始めるので面食らったな･･･。
何か得られると思ったけどよくわからんかったw
dfはR^2からT^＊(R^2)への写像ではなく、fのグラフXという多様体からXのcotangent bundle T^＊(X)への写像ではないんですか？
cotangent bundleさえ分かれば…！（非数学科）
d〇は単に「微小な〇の変化量」の意味で、dxは微小なxの変化量lim Δx→0 (Δx)の事だと習った
そしてd(関数)は「関数の変化量、だけど変数の変化量はΔ〇ではなくd〇が使われてますよ」の微小な関数の変化量？的なシンボルだと思ってた
だからf(x)の時、df＝f(x+dx)-f(x)
2変数のf(x,y)の時、df＝f(x+dx,y)-f(x,y) + f(x,y+dy)-f(x,y) イメージは勾配のある平行四辺形っぽく
でもこれだと計算しずらいから、それぞれdxとdyで割って偏微分の形を作り
df＝(∂f/∂x)dx＋(∂f/∂y)dyにしたんだと思ってた
n 変数関数がある点で微分可能という場合、その点で１次関数で近似できるということだと理解してるんですが、今回の話でいうと全微分できるということですかね？
全微分の幾何学的意味や微分幾何学における全微分について、もう少し突っ込んで話して欲しいです。
全微分の公式に関する厳密な理由付けが存在する。たしかに、そうでないと納得できないかも。
45年ぶりくらいに教養部の微分積分学の講義が腑に落ちました。感謝です。
先生のような方に教わっていれば文系に変わらなかったかもしれません。
今の人たちはインターネットで必要な知識が得られるのでうらやましいです。
コタンジェントバンドルて何？
充分に発達した数学は魔法と区別がつかない。
x0, y0 のまわりに赤丸をぐりぐり描いた直後、fに赤丸が投影されて赤い楕円になって・・・と進むかと思ったら素っ飛ばしてどっか行って、完全に置いてきぼり食った。
「1次微分形式」を知ってないと何を言ってるのかわからん動画だなあ。
逆に、そこら辺りが理解のカギになるのかな。知らんけど。
うわあ…おもしろい