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【高校数学】今週の積分#6【難易度★★★★】。
マイナス 二分 の 一乗。
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【誤植訂正】
6:31 "+"抜けちゃった
普通にtanの置換じゃだめなんですか？
tanで置換はだめなんですか？
試しにtanの置換したら地獄見た
覚えよ
この関数が逆双曲線関数の導関数って分かってたらはじめから原始関数分かってるってなるよ
この動画のお陰で、女子高生にスラスラと勉強を教えることができました!ありがとうございます
この式最後にこんなにスッキリするのか面白い!
双曲線関数は大学レベルですか! かなり難度の高い置換ですが、そんな置換せずとも従来の、1+ x.^2を見てx=tanθ、と置くと、数ⅡBの三角関数の式変形レベルで解く事できます。
1+tan^2 θ=1/cos^2θ = sec^2θ ですからこの逆数の平方根は、cosθ。一方dx=dθ/cos^2θ、よって与式=∫ cosθ/(1-sin^2θ)dθ =∫cosθ/(1-sinθ)(1+sinθ) dθ＝1/2 ｛ ∫cosθ/(1-sinθ)+cosθ/(1+sinθ)dθ｝=1/2 ∫｛(1+sinθ)’/(1+sinθ)ー(1-sinθ)’/(1-sinθ)｝dθ=1/2{log (1+sinθ)/(1-sinθ)dθ=log(1+sinθ)/cosθ = log (secθ+tanθ) +C。他方secθ=√(1+x^2) ですから、
結局与式=log Ιx +√(1+x ^2) | +C
となります。
ということは、この双曲線関数には
(sinh t)^2-(cosh t)^2=-1
(sinh t)'=cosh t
という関係があり、これを公式として覚えてしまえば、
この問題は「x=sinh t」とおくことであっという間にできてしまいますね。
・・・でも、高校数学でこう答えたら怒られるか？（大学入試では点にならないか・・・）
√内の定数が1以外ならどのように置換すべきですか？
いやぁ双曲線関数…
ﾏﾁｶﾞｴﾀ。なんやねんこの置換。FGのってるじゃないかあああ
ド変態なチカンだ～
Arigato yobinori
θの範囲を考えれば、ｘをtanθと置いて十分です。sinθは与式の分子をｘにしたもの。
とてもわかりやすい解説ありがとうございます😂
X＝tanθって置換したら死んだw
tanの置換でも良くない？
<cf> 「今週の積分」シリーズ
・１つ目の問題：#1 → https://www.youtube.com/watch?v=vm7LcyupMs0
・１つ前の問題：#5 → https://www.youtube.com/watch?v=Jdyl8l4WD3c
・次の問題：#7 → https://www.youtube.com/watch?v=K5uN-nlDRDk
この動画見て、関連する双曲線関数とか懸垂線とかいろいろ調べました
めっちゃ面白かったです
この動画で求めた積分がarcsinhxであるところまで知りました
これ普通にtanに置換してもとけるよな
【√（1+x²）を含む形→x=（eᵗ-e⁻ᵗ）/2と置換】
今回は双曲線の媒介変数由来の置換
x+√（x²+1）=tの置換も有効
√（1-x²）→x=sintの置換は円の媒介変数由来
0:44
なぜこのように置換するのかを教えてくれるのはありがたいです！