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45 thoughts on “【難関大】整数問題の全パターンをマスターして差をつけろ! | 最も詳細な整数 問題 良 問内容の概要

  1. うちなーのうみんちゅ says:

    「②の形にできれば、後は①③で絞り込み」
    これで一橋1完ゲットだぜ

  2. ほう砲 says:

    3乗-3乗の因数分解
    約数を書き出す
    でやることは終わりやんな
    候補を絞るテクニックは試験本番では迷う暇があったらある程度で打ち切って全部代入すべし

  3. SM Choi says:

    m³ + 1³ = n³ + 10³ <=> m³ – n³ = 999 …(*) であることに注意してください。

    f(x) = x³ と ℤ をすべての整数の集合とします。 f(m) – f(n) = 999 で m, n ∈ ℤ の場合:

    [1] f は厳密に増加 ⇒ m>n

    [2] d≥18 or d≤-19 の場合:
    f(d+1) – f(d) = 3d² + 3d + 1 > 3d(d+1) ≥ 3(18)(19) = 1026 > 999 ⇒ |m|≤18 & |n|≤18

    [3] |p|≤7 & |q|≤7 の場合: [1] ⇒ f(p) – f(q) ≤ f(7) – f(-7) = 2(7³) < 999 ⇒ |m|≥8 or |n|≥8

    [4] f(-n) – f(-m) = (-n)³ – (-m)³ = m³ – n³ = 999

    [1]、[2] と [3] ⇒
    8≦m≦18 (& -18≦n<m≦18) …(C1)
    or -18≤n≤-8 (& -18≤n<m≤18) …(C2)、
    [4] ⇒
    (C1) からのすべての解は、(C2) からの互いに"一つ一つに"関連付けられます。
    f は全単射であるため、(C1) からの 11 個の可能な解セットのみをテストすると、(C2) からの他のすべての解セットが識別されます。

    (*) により、n = (m³ – 999)¹ᐟ³ なので (カーソル付きの電卓を使用すると役立ちます):
    m = 8 ⇒ n = (-487)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 9 ⇒ n = (-270)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 10 ⇒ n = (1)¹ᐟ³ = 1 ∈ ℤ;
    m = 11 ⇒ n = (332)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 12 ⇒ n = (729)¹ᐟ³ = 9 ∈ ℤ;
    m = 13 ⇒ n = (1198)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 14 ⇒ n = (1745)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 15 ⇒ n = (2376)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 16 ⇒ n = (3097)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 17 ⇒ n = (3914)¹ᐟ³ ∉ ℤ;
    m = 18 ⇒ n = (4833)¹ᐟ³ ∉ ℤ。

    解集合は (m,n) ∈ {(-9,-12), (-1,-10), (10,1), (12,9)} です。

    Original English version:

    N.B. m³ + 1³ = n³ + 10³ <=> m³ – n³ = 999 …(*).

    Let f(x) = x³ and ℤ be the set of all integers. If f(m) – f(n) = 999 where m, n ∈ ℤ,

    [1] f is strictly increasing ⇒ m>n;

    [2] f(d+1) – f(d) = 3d² + 3d + 1 > 3d(d+1) ≥ 3(18)(19) = 1026 > 999 when d≥18 or d≤-19 ⇒ |m|≤18 & |n|≤18;

    [3] if |p|≤7 & |q|≤7, [1] ⇒ f(p) – f(q) ≤ f(7) – f(-7) = 2(7³) < 999 ⇒ |m|≥8 or |n|≥8;

    [4] f(-n) – f(-m) = (-n)³ – (-m)³ = m³ – n³ = 999.

    [1], [2] & [3] ⇒
    8≤m≤18 (& -18≤n<m≤18) …(C1)
    or -18≤n≤-8 (& -18≤n<m≤18) …(C2);
    [4] ⇒ every solution under (C1) associates with exactly one another under (C2).
    As f is bijective, testing only 11 possible solution sets under (C1) would identify all other solutions sets under (C2).

    By (*), n = (m³ – 999)¹ᐟ³, so (a calculator with cursor helps):
    m = 8 ⇒ n = (-487)¹ᐟ³ ∉ ℤ;

    (see Japanese version for 9≤m≤17)

    m = 18 ⇒ n = (4833)¹ᐟ³ ∉ ℤ.

    The solution set is (m,n) ∈ {(-9,-12), (-1,-10), (10,1), (12,9)}.

  4. KN9260 says:

    うp主のようにスマートな解答はできないので候補を
    999=1*999~27*37に絞ったら総当たりで調べました。
    結果オーライでしたが。

  5. _jxi 9ixs says:

    自分が受験生のとき、こんな動画が有ったら数学が好きになってた筈です。
    25歳だけ若返りたいなぁ。。。

  6. ココナットンΔ. says:

    中学生です!!!似たような問題が京大にもあったため、河野玄斗さんの問題をサムネから解くことができました!!
    解説がすごくわかりやすいです!!

  7. 蒼玉 says:

    京大で似たような問題あったけどこっちの問題は背景がタクシー数だから答えは自明だしそれに辻褄合わせるだけだから割と楽だった

  8. いろはす says:

    n³+1³=m³+10³ (n,m≧2)

    (n-m)(n²+m²+mn)=999

    999=3³・37

    n-m=aのとき、n²+m²+nm=a²+3mn
    よって、
    a=3kのとき、n²+m²+nm=3(3k²+mn)

    a   3  9
    a²+3nm 333  111
    mn   108  10
    (a=37はa²+3mn=27より、a>a²(a>1)となり不適)

    よって
    n-m 3     9
    nm 108=2²・3³ 10=2・5
    n 12     10
    m 9     1

    n.m≧2より、
    (n.m)=(12.9)

  9. Captain Johnny says:

    ラマヌジャンの映画、アマゾンのプライムビデオで拝見しました。「タクシー数」の話、確か映画のエピソードにありました、よね?ちなみに彼は緑のボールペンを好んで使っていて、もらった紙にあらゆる問題を解いていたそうな。私も数学に限らず、何かに行き詰った時はラマヌジャンや岡先生と同様に、宗教活動に入ることが多いですね。

  10. K.F. says:

    一橋の数学って数学科入りたいような人が解くべき問題出る時あるよね。
    タクシー数なぞ文系人間は誰も知らんてw

  11. for example says:

    マジレスするとラマヌジャンはちゃんとした数学教育を受けられてないから厳密な論証をする癖がなかったらしくラマヌジャンを目指したら2次試験の数学減点くらいまくって0点説ある()

  12. ポン太 says:

    "2以上の"って見過ごして答え4通り出してしまった。
    整数問題ミスあるある…

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