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AP=a PB=b AR=c RC=d とおくと、a^2 + b^2 = c^2 + d^2 の条件下で正方形の面積は(ad+bc)(ab+cd) / 2(ac+bd)
円に内接する四角形が出来る事に気が付き、方べき、トレミーの定理で解きました
こういう背景でつながるのかー、と納得しました
チェバの定理って使えないのかな？
話がある早すぎる、小学生を相手に一つ一つ式を書きながら説明お願いします。
高校数学でやろうとしたらややこしい係数の二次方程式解く羽目になった。
Kouno Sensei's solution is undoubtedly brilliant. However, if it is too clever to think about, coordinate geometry helps to solve the problem:
Let s cm be the length of a square side. Align the diagram with the cm-scaled Cartesian plane by the mapping scheme:
P → (0,s); Q → (0,0); R → (s,0) & S → (s,s).
As Q is the midpoint of BC,
B is at (-u,v) and C is at (u,-v)
for some u>0 and v>0.
Let A be at (m,n). As |AR|:|RC| = 9:2,
s = [2(m)+9(u)]/(9+2) & 0 = [2(n)+9(-v)]/(9+2)
m = (11s-9u)/2 ···(C1) & n = 9v/2 ···(C2)
Likewise, as |AP|:|PB| = 7:6,
0 = [6(m)+7(-u)]/(7+6) & s = [6(n)+7(v)]/(7+6)
m = 7u/6 ···(C3) & n = (13s-7v)/6 ···(C4)
By (C1) and (C3),
(11s-9u)/2 = 7u/6
u = 33s/34 ···(C5)
By (C2) and (C4),
9v/2 = (13s-7v)/6
v = 13s/34 ···(C6)
As |RC| = 2,
(s-u)² + (0+v)² = 2²
(s – 33s/34)² + (13s/34)² = 2² (by (C5) and (C6))
s² = 27.2
Hence the area of square PQRS is 27.2 cm².
もう少しゆっくり話していただけるとありがたいです
△PBQと△QCRを辺BQと辺QCでくっつけて、それと多角形APSR(△APRから△PSRをくりぬいた形)を辺PQRと辺PSRでくっつけると、さらに簡単に解けますかね…。
解くのに8時間かかりましたが😢
オリンピックはむずいぞ
算数でやるのをあきらめて余弦定理を使ったんですけど、自分の解きかたで解いた人がコメント欄に見当たらなかったので一応残しておきます。ちょっと言葉尻を捕らえるようですが、「ルートは使っていません。」でもまあルール違反かな…
正方形の一辺の長さをx(cm)とおくと、求める面積はx²である。
直線AQ上に、AQ=QDとなるような、Aと異なる点Dをおくと、BQ=QCより、四角形ABDCは平行四辺形である。
さらに、直線BDと直線RQの交点をTとすると、BT=2cmであり、TQ=PQ=RQ、QR⊥PQより、△PTRは直角二等辺三角形である。また、△PTRの面積はx²であり、求める正方形の面積に等しい。
PT=PR=y(cm)とすると、y²は△PTRの2つ分の面積に相当するから、y²=2x² …… (1)
ここで、∠PBTをθとする。
△PBTについて、余弦定理より、
y² = 2² + 6² – 2・2・6cosθ = 40 – 24cosθ …… (2)
四角形ABDCは平行四辺形であるから、∠PAR = 180° – ∠PBT = 180° – θ
よって、cos∠PAR = cos(180° – θ) = -cosθ
△PARについて、余弦定理より、
y² = 7² + 9² + 2・7・9cosθ = 130 + 126cosθ …… (3)
(3) – (2) より、150cosθ + 90 = 0
cosθ = -0.6
(2)に代入して、y² = 54.4
(1)より、2x²=54.4 であるから、
x²=27.2
正方形PQRSの面積は27.2cm²である。
時々見られる暗算が早すぎて鳥肌あ
やってみたけど解けなかった。同角の面積比を忘れてて、証明するまでやりたくなかったからだけど、この公式って小学生で教えたっけ？なんか算数じゃなくて高校数学ぐらいに感じる
最もゆっくりおはなしくださいませんか、お願いします。
三角形QRCを点Qで回転させて台形BARR‘を作り出すと三平方で解けました。
はは～ ほ～ しかでえへんわ笑。すごい。
この問題マジやべ〜怖い
解説めっちゃ真面目に聞いてたけど途中でなんも分からんくなった
教えるには早口ｗ
小学生は三角関数習ってないのにどうやって共通の角を持つ三角形は面積比と辺の積の比が同じって納得するんだろう…
「小学生でも知ってれば解ける」ってタイトルにしてくれないかね
毎回思ったけど、小学生だからルートを使っては行けない、、、算数オリンピック解ける小学生ってワンチャン微積分も学んだ気がする
90℃ひっくり返すってとこでもう無理
残念ながら後半の３０㎠が気付けなかった…。また算数オリンピックの良問をお願いします。