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#大学数学群論入門③対称群代数学。
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【大学数学】群論入門③(対称群)【代数学】。
置換 群。
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【訂正】
8:25 間違えてμ1μ3(=ρ2)を計算してしまいました。μ1ρ2は計算するとμ3になります
互換の積のモヤモヤ感がクリアになりました
えっ、たくみさんも群論好き過ぎて必要以上に勉強しちゃったんですね。私もそうです。
自分用:2022/07/10
<cf> 群論入門シリーズ
・１つ前の動画 → https://www.youtube.com/watch?v=xxY2r2N4zDs&t=1111s
・次の動画 → https://www.youtube.com/watch?v=nXKwELQ3vFw&t=1s
学校の複素数の授業で登場した概念がよく理解できました！
写像が分からなくて二年前にリタイアしたけど、数楽チャンネルで説明してくれたのを見て帰ってきた
言葉で説明は難しいのですが。6分３０秒付近で、例えば、１を固定、２を３に、３を２へ移す置換ս1を、入力側は縦に（1,2,3)と板書し、出力側(1,3,2)と板書してますが、これは、入力側も出力側も(1,2,3)と書いて、対応関係を矢印で結ぶ、そんな図にすると、絶対面白いです！。（細かい注意が必要ですが）矢印の交点を観察する事で、「その置換が偶置換か、奇置換か？」、「互換の分解」も分かるし、はたまた、その置換を実現する阿弥陀くじまで作れます！。
大学入る前に代数学の予習をしたくて、まだ線形代数も少ししか齧ってないけど大丈夫かな…なんて思いながら群論入門の教科書読んでみたら見事挫折しました。どうしようかな…と思っていた時に担任の先生が｢ヨビノリっていうyoutuberの方の講義は宇宙一わかりやすい｣と言っていたことを思い出し来ました！
用語も細かく説明してくれるから授業について行きやすいですし、わかりやすいし面白い！！
ありがとうございます！
これからも利用させていただきます！
そして偶に溢れ出るギャグセンスにいつも吹き出してしまいます😂
自分用:互換の積で表せることの証明
【step1】鳩の巣原理、帰納法を用いる
任意の置換は最小工程から行って戻る偶数回の工程を経るので最小工程と偶奇が一致
ありがとうございます！
しゃぞー？ナンスかしゃぞーって
なんとなく観てた動画だったけど、昨日行列式の定義を見直してたら出てきた内容でびっくりしました。調べるきっかけになるから、観ててよかったです…
動画最後のpointで物語のどんでん返しのように「群の元」が新たな視点に切り替わった。
数学をエンタメのように表現している素晴らしい動画！
大学数学どころか数ⅢCをやったことがない初学者ですが、まとめてみました
ツッコミあれば嬉しいです…
<前提>
日頃我々が何気なく計算を行っている世界において、ルールの1つに「四則演算(＋,－,×,÷)」がある
このうち「－は＋から、÷は×から生成出来る(※厳密性は一旦無視)」ので、四則演算は「＋と×の2つの演算」に集約することが出来る
(※この「＋と×の相違」を突き詰めると、ABC予想(IUT理論)の話になる…？)
この「2つの演算が成立している世界」を「環」と呼び、対して「1つの演算が成立している世界」を「群」と呼んでいる
<本題>
そうすると「1つの演算が成立していれば」「群と呼べる」ので、その「演算」について「四則演算っぽくないもの」でも考えることが出来る
今回はその「四則演算っぽくないもの」のうち「置換」を取り上げ、それにより成される「対称群」と呼ばれるものを扱っている
対称群の例の1つ：S3について、実際の演算結果を考えると「群の要件4つ(閉,結,単,逆)は満たしている」ので、群になる
①「演算の順序」と「作用」の結果からの帰結として、「非可換群」になっている
・スタートが同じでも「入れ替える順序を変える」と「別の演算結果が得られる」ので「可換ではない(=けど群であることは間違いないので、非可換群)」
(※この「非可換」を突き詰めると、5次方程式の解の公式が無い話(アーベル＝ルフィニ)になる…？)
②交換法則について：「日頃我々が何気なく計算を行っている世界なら成立していた」が「S3は成立しない世界である」
・一般的に「Snはn≧3において、非可換群になっている」＝個別に例外はあるかもしれないが「非可換群であることが前提になる」
③Snの位数(|Sn|)＝n!
※実質的に並び替えの順列(=nPr)において、r=nとなっている状況
④任意の置換は互換の積で表現される
・「何らかの、一度に元を入れ替える演算」について、「一度に2つの元を入れ替えること」「同士を作用させる形の表現(＝積)」で「同じ演算結果を再現出来る」
・この「表現方法自体」は「一意的ではない」(＝ただ1つに決まるものではない)
・表現に現れる「互換の数」が「偶数or奇数のどちらであるのか」は「一意的に定まる」(＝ただ1つに決まる)
★表現の作り方；巡回置換、恒等写像、互換を見つけてそれぞれに分解する
※全部書いたら面倒なので、記法の省略という意図も含んだ表現方法
A-1)巡回置換を見つける：演算対象となる群Gの要素について、その中身で演算が閉じている(＝ループが完結する)ものを抜き出す
※抜き出されたものだけで演算が閉じている＝その他に影響することがないから抜き出して問題ない
A-2)A-1の巡回置換を互換に分解する
各巡回置換のうち、最も左にある要素を固定し、巡回置換の中における作用順序も踏まえ、その他の「巡回置換の各要素に対する互換として表現する」
ex.(1,6,10)⇒(1,6)(1,10)、(2,8,3,5)⇒(2,5)(2,3)(2,8)
B)恒等写像を見つける：恒等写像は他に影響しないので、表現自体を消去する
C)互換を見つける：2つの元で閉じているものを抜き出す
★「四則演算における演算」は「加算(＋)と乗算(×)」であり、「対称群における演算」は「置換」である
いずれも「別の元を生成するという効果」を持っていると考えられ、比較すると以下のようになる
・加算：元同士を「足して」別の元を生成する
・乗算：元同士を「掛け合わせて」別の元を生成する
・置換：元同士を「入れ替えて」別の元を生成する
★置換関連の定義一覧
・演算対象となる群Gに含まれる要素の数＝N、それに対する対称群＝N次対称群(Sn)
・置換という「演算自体の名前」＝写像
・置換という「演算を行うこと」＝作用
・「写像」を連続して「作用」させること(＝置換という演算を立て続けに実行すること)＝写像の合成
・演算の順序：右から左へと順に行っていく
・群Gに含まれる要素の数から導かれる「Snの具体的な内容としてカウントされる写像の数」＝Snの位数
・「2つの元を一度に入れ替える置換」＝互換
※置換自体は「一度に元を入れ替えること」なので、「一度に<2つの>元を入れ替えること」を別途「互換と呼ぶ」ことにしている
・互換の数が「偶数個」になるもの＝偶置換、「奇数個」になるもの＝奇置換
・何も変えないようなもの(0個の置換；ex.恒等写像)は「偶置換」に含める
・「偶置換or奇置換と決定すること自体」は一意に定まる(＝決定する)
こだわるところとこだわらなくていいところをきちんと教えてくれるのめちゃ助かるんだよなぁ
巡回置換から互換への書き換えのやり方が分ったような気がします。自分で手を動かしてやってみます。
プログラムでのソートが、なぜ、互換だけでできるか。という話は、注3で説明できるだね。
任意の置換が互換の積でかけるは、あみだくじは任意の入れ替えができるに言い換えるとしっくりきますよ
こうすると偶奇がどう互換の積で表しても変わらないという事実も直感的になって好きです
最後締まらなすぎて草
対称群面白かったです！
偶置換か奇置換かが一意に決まるのが興味深いです。
対称群が大将軍に空耳。
最後の噛んだの言い直そうとして結局そのまま終わらせてエンディング入ったとこ一番笑ったｗ
ところで何故右から順にやるのか分からなかったんやけど、これは理屈分かった方がいいとこ？
それともそういうもんって流していいんかな？
線形代数入門の謎の部分だったのでありがたい(^ ^)
置換が互換の積で表せるという定理、プログラムの考え方に似てますね。
一つの処理を複数の関数に分割して、最後にmain関数でまとめる所とか。
ここ勉強してたお陰で、量子力学のボゾンとかフェルミオンのところ分かりやすかった
｛家康, 秀忠, 家光, 家綱, 綱吉, 家宣, 家継, 吉宗, 家重, 家治, 家斉, 家慶, 家定, 家茂, 慶喜｝
これも対称群ですか？
Ρ2・μ1が分からなかった。μ1の1行目2列目が2->3 は分かる。その結果Ρ2の１行2列目の値の3は1になるんじゃないの？
入れ替えたあとも同じグループになるというのは確かに生物などでもありそうですね。
数学が科学と関係があるのはワクワクしますね😀
社会の構造とかもモデル化出来るような気がしてきた
群論ってこういう発想から生まれてきたのかな
これってあみだくじと同じですよね？高校生なんでわかんないですけど🥺
一夜にしてまいやんにチャンネル登録者数抜かされちゃいましたね。
コラボ期待してます🥺
エディントンのεは対称群だったのか
高校化学、数学、物理の授業動画を
あげてほしいです(^◇^;)
学校で授業があまりないので。
あ
分子の対称性とかでも見るよね。
これ数学やったんか、、
ﾀｲ…ｼｮｳ…ｸﾞﾝ?
ああ、坂上田村麻呂ねﾘｶｲｼﾀ
can you explain why x^2=2^x ?
ヨビノリ先生
大学時代によく分からなかった「群論」の話がよく分かります。
ありがとうございます。
今後の授業も楽しみです。
ガロア理論も、概要だけでもぜひお願いします。
私は動物が好きです。なので獣医学の授業をリクエストします。
群論という言葉を最初に聞いたのがルービックキューブが流行った頃
対称群はそれと密接に関連してる気がする